அலை இயற்பியல், அலை குறுக்கீடு, ஃபூரியெ மாற்றம் (Wave mechanics, Interference,Fourier Transform) பகுதி-3

ஒரு அலையுடன் இன்னொரு அலை சேர்ந்தால், அது அலை குறுக்கீடு அல்லது இன்டர்ஃபரன்ஸ் (Interference) என்று சொல்லப் படும். ஒரு அலையுடன் பல வேறு வேறு அலைகள் சேர்ந்தாலும் அது குறுக்கீடுதான். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு குறிப்பிட்ட அலை நீளம் உள்ள அலை (1) உடன், வேறு அலை நீளம் உள்ள அலை (2) சேர்ந்தால் என்ன ஆகும்? அதை, கீழே இருக்கும் படத்தில் பார்க்கலாம்.


இங்கு படத்தில் பூஜ்யம் நேரம்முதல் காண்பித்து இருந்தாலும், இவை ஆதி முதல் அந்தம் வரை இருக்கும் தூய அலைகள் என்று கற்பனை செய்து கொள்வோம். இந்தப் படத்தில் பார்க்கும்பொழுது, மூன்றாவது பகுதியை மட்டும் பார்த்தால், நாம் அதை ஒரு சைன் வேவ் மாதிரி என்று சொல்லவே முடியாது. ஆனால் உண்மையில் அது இரண்டு சைன் வேவ்களின் கலப்புதான். சில சமயங்களில், முதல் அலையும், இரண்டாம் அலையும் ஒரேபோல மேலே இருக்கும். அப்பொழுது, கலப்பு அலையும் மேலே இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நொடி நேரத்தில் பார்த்தால் இரண்டு அலைகளுமே மேலே இருக்கும், அதனால், கலப்பு அலையும் மேலே இருக்கும். ஆனால், இரண்டு நொடியில் பார்த்தால், முதல் அலை கொஞ்சம் மேலேயும், இரண்டாம் அலை நிறைய கீழேயும் இருக்கும். அதனால் கலப்பு அலை ஏறக்குறைய பூஜ்யம் ஆகிவிடும்.

இந்த இரண்டு அலைகளும் சம வளம் (equal amplitude) கொண்டவை. அதற்கு பதில், ஒரு அலைக்கு கொஞ்சம் சிறிய வளம் இருந்தால், படம் இன்னமும் மாறும். அந்த எடுத்துக்காட்டு கீழே இருக்கிறது.


மேலிருக்கும் படத்தில், இரண்டாம் அலையின் பாதிப்பு குறைவாக இருப்பதால், கலப்பு அலையானது, ஏறக்குறைய முதல் அலை போலவே இருக்கும். ஆனால் கொஞ்சம் மாறுதல் தெரியும்.

இப்பொழுது, முதல் எடுத்துக்காட்டில், கலப்பு அலைகளை மட்டுமே பார்த்தால், நம்மால் “இந்த அலையானது இரண்டு தூய அலைகளின் கலப்பு ஆகும். ஒரு அலை 6.3 நொடி பீரியட் (அல்லது 1/6.14 அதிர்வெண்) கொண்டது, இன்னொரு அலை 3.14 நொடி பீரியட் (அல்லது 1/3.14 அதிர்வெண்) கொண்டது. இரண்டுமே சமமான வளம் கொண்டவை” என்று சொல்ல முடியுமா?

அதைப்போலவே இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில், ‘இதுவும் முன்பைப் போலத்தான், ஆனால், முதல் அலையின் வளம் 1 செ.மீ, இரண்டாவது அலையின் வளம் அரை செ.மீ.” என்று சொல்ல முடியுமா?

பொதுவாக ஒரு அலை போன்ற வடிவம் வந்தால், அது எந்த எந்த தூய அலைகளின் கலப்பு, அந்த தூய அலைகளின் வளம் என்ன என்பதை சொல்ல முடியுமா?

இப்படி கேள்விமேல் கேள்வி கேட்டுக்கொண்டு இருந்தால் படிப்பவர்கள் 'விட்டால் போதும்' என்று ஓடமாட்டார்கள் என்று சொல்ல முடியுமா? :-)

கலப்பு அலையின் வளத்தை நேரத்திற்கு ஏற்ப வரைந்தால் (மேலே இருக்கும் படங்கள் போல வரைந்தால்), இந்த கேள்விகளுக்கு பதில் சொல்ல முடியாது. ஆனால், இதையே வளத்தை, அதிர்வெண்ணுக்கு ஏற்ப வரைந்தால் சுலபமாக பதில் சொல்ல முடியும்.

இதற்கு முந்திய பதிவில், ஒரு தூய அலையைப் பற்றி முழுமையாக, அதே சமயம் சுருக்கமாக சொல்லவேண்டும் என்றால் அதன் வளம், அதிர்வெண் ஆகிய இரண்டை மட்டும் சொன்னால் போதும் என்று பார்த்தோம்.

அதாவது ‘சைன் வேவ், அதிகபட்ச வளம் 1 செ.மீ, ஆறு நொடிக்கு ஒரு முறை மீண்டும் மீண்டும் வரும்' என்று சொன்னால் போதும். அதை வைத்து, ஆதி முதல் அந்தம் வரை இந்த சைன் வேவை வரைந்து விடலாம். சினிமா பாணியில் சொன்னால், ‘ஒரு தடவ சொன்னா, நூறு தடவ சொன்ன மாதிரி'.

இதை, நாம் வளம் vs அதிர்வெண் என்ற படத்தில் வரைந்தால், அது ஒரு புள்ளியாக வந்து விடும். பீரியட் 6.14 நொடி என்றால், அதிர்வெண் = 1/6.14 = சுமார் 0.163 ஹெர்ட்ஸ்.





ஒரு நொடி யோசித்துப் பாருங்கள், பழைய படத்தில் (அதாவது வளம் vs நேரம் என்ற படத்தில்), ஒரு முடிவில்லாத வளைந்து வளைந்து செல்லும் கோடு (சைன் வேவ்) ஒன்றைப் பற்றிய எல்லா விவரங்களையும், இந்தப் படத்தில் ஒரே ஒரு புள்ளியில் சொல்லிவிடலாம்! ஆச்சரியமாக இருக்கிறது அல்லவா?

நாம் இப்படி வரைந்து இருப்பது ‘அதிர்வெண் விவரம்' அல்லது Frequency domain என்று சொல்லப்படும். பொதுவாக நாம் எதை அளந்தாலும் (வெப்ப நிலை, ஒரு பொருளின் இடம், வேகம், அழுத்தம் என்று எதை அளந்தாலும்), அது நேரத்தை பொருத்து மாறுகிறதா, அப்படி மாறினால், எவ்வளவு மாறுகிறது என்று அளப்போம். அது ‘நேர விவரம்' (Time Domain)என்று சொல்லப்படும்.


இதே, இரண்டாவது அலையைப் பற்றி சொன்னால், ”சைன் வேவ், அதிக பட்ச வளம் 1 செ.மீ, (அல்லது அரை செ.மீ), மூன்று நொடிக்கு ஒரு முறை மீண்டும் மீண்டும் வரும்” என்று சொல்லலாம். அதிர்வெண் சுமார் 1/3.14 = 0.326 ஹெர்ட்ஸ். இது இன்னொரு புள்ளியாக வந்து விடும்.



இரண்டும் கலந்த கலவை எப்படி இருக்கும்? இரண்டு தனித்தனி புள்ளிகளாகவே அதிர்வெண் படத்தில் இருக்கும். அதைப் பார்த்த உடனேயே, இந்த கலப்பு அலையில் என்ன என்ன அலைகள் இருக்கின்றன, ஒவ்வொன்றின் வளமும் எவ்வளவு என்று சுலபமாக, துல்லியமாக சொல்லி விடலாம்.



அதுசரி, தூய அலையாக இருந்தால், அதை பழைய (வளம் , நேரம்) படத்தில் பார்த்து, புதிய அதிர்வெண் படத்தில் புள்ளி வைத்து விடலாம். கலப்பு அலைகளைப் பார்த்தால் ஒன்றுமே தெரியாதே. அதற்கு ஒரு வழி உண்டு. இங்கு நமது தேவை என்ன என்றால், நூலின் அசைவை நேரத்திற்கு ஏற்ப கொடுக்கும் படத்திலிருந்து, அதிர்வெண் படத்திற்கு மாற்ற வேண்டும். இதை செய்வதுதான் ‘ஃபூரியெ மாற்றம்'. (Fourier Transform)

Fourier Transform என்று சொல்லப்படும் இதை கண்டு பிடித்தவர் பிரான்ஸ் நாட்டை சேர்ந்த Fourier. இதை ‘ஃபோரியர்' என்று உச்சரிக்கக் கூடாதாம், ‘ஃபூரியெ' என்றுதான் சொல்ல வேண்டுமாம். எப்படி சொன்னாலும் சரி, இது அறிவியலில் பல துறைகளிலும் அதிக அளவில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இந்த முறை மூலம் நேரத்தில் கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் விவரத்தை அதிர்வெண்ணுக்கும், அதே போல அதிர்வெண்ணில் கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் விவரத்தை நேரத்திற்கும் மாற்ற முடியும். அதிர்வெண் விவரத்தை நேரத்திற்கு மாற்றுவதை ‘இன்வர்ஸ்' (Inverse) என்று சொல்வார்கள்.

இவற்றை செய்ய , இன்டெக்ரேஷன் (Integration) என்ற ஒரு கணித விவரம் தேவைப் படுகிறது. இந்தப் பதிவுகளில் அதைத் தவிர்த்துவிடுவோம். நமக்கு தெரியவேண்டிய விஷயம் எல்லாம்

1. நேர விவரத்தை அதிர்வெண் விவரமாக மாற்ற முடியும்.
2. அதை தூய சைன் வேவ் போன்ற எளிய படங்களை, பார்த்தே சொல்லிவிட முடியும். அப்படி ‘பார்த்தவுடன் தெரியாத' படங்களுக்கு ‘ஃபூரியெ மாற்றம் என்ற கணித சமன்பாட்டை வைத்து அதிர்வெண் விவரமாக மாற்ற முடியும்
3. அதைப் போலவே, அதிர்வெண் விவரத்தை, இன்னொரு கணித சமன்பாடு மூலம் நேர விவரமாக மாற்ற முடியும். அதற்கு ஃபூரியெ இன்வர்ஸ் என்று பெயர்