எல்லாத் துகள்களையும் அலைகளாகவும், எல்லா அலைகளையும் துகள்களாகவும் பார்க்கலாம் என்பது குவாண்டம் இயற்பியலில் ஒரு கொள்கை. ”ஒரு துகளை அலையாக நினைக்கலாம், அதற்கு அலையின் பண்புகள் உண்டு” என்று சொன்னால், அதன் பொருள் என்ன?
ஒரு துகளை (அல்லது பொருளை) அலை வடிவில் சொல்ல வேண்டும் என்றால், “அந்த துகள் எந்த இடத்தில் இருக்கிறது என்பதை அந்த அலையின் வளம் சொல்கிறது, அந்த துகள் எவ்வளவு உந்தத்துடன் போகிறது என்பதை அலைநீளம் சொல்கிறது' என்று குவாண்டம் இயற்பியலில் கூறலாம்.
- இன்னும் சரியாக சொல்லப் போனால், அலை வளத்தை இருமடியாக்க (square) வேண்டும். ஆங்கிலத்தில் amplitude square என்று சொல்வார்கள். ஆனால் இந்த இடத்தில் விஷயத்தை புரிந்து கொள்ள இது போதும்
அலையின் வளம் , இட விவரத்தில் (space) சொன்னால், சைன் வேவ் போல இருக்கலாம், அல்லது நேர் கோடு போல இருக்கலாம், அல்லது 'கோணக்க மாணக்க' என்று எப்படி வேண்டுமானாலும் இருக்கலாம். ஒரு இடத்தில் அலையின் வளத்தை (அதாவது வளத்தின் இருமடியை) கணக்கிட்டால், .
அந்த துகள் அந்த இடத்தில் இருக்கும் வாய்ப்பு (probability) என்ன என்பது தெரியும்.
ஒரு உதாரணத்திற்கு கீழே இருக்கும் படத்தில், ஒரு துகள் எந்த இடத்தில் இருக்கிறது என்பது பற்றிய விவரம் இருக்கிறது. முதல் படத்தில் இந்த துகளை அலை போல நினைத்தால் எப்படி இருக்கும் என்பதை சொல்கிறோம். இந்த இடத்தில் முப்பரிமாணத்தில் இல்லாமல், ஒரு பரிமாணம் (one dimension) மட்டும் பார்க்கலாம், அப்போதுதான் சுலபமாக இருக்கும்.
இந்த அலையைப் பார்த்தால், அது -இன்பினிடி (minus infinity)இல் தொடங்கி, சுமார் 6.2 நே.மீ. வரை பூஜ்யம் என்றும், பின்னர் ஒரு அலை போலவும், மறுபடி சுமார் 9.5லிருந்து முடிவிலி (plus infinity)வரை பூஜ்யம் என்றும் சொல்லலாம். படத்தில் பூஜ்யம் முதல் 10 வரை கொடுத்திருக்கிறேன், மற்ற இடங்களில் பூஜ்யம் என்று வைத்துக்கொள்ளுங்கள்.
எனவே இந்த துகள் ஒரு ரெபரன்சிலிருந்து 6.2 நேமீ முதல் 9.5 நேமீ வரை உள்ள இடத்தில் இருக்கிறது என்று சொல்லலாம். இந்த 3.3 நே.மீ. இடத்திற்கு உள்ளே, எல்லா இடத்திலும் இருக்க சம வாய்ப்பு இல்லை. நடுவில் (ரெபரன்சிலிருந்து 8 நே.மீ. தொலைவில்) இருக்கதான் அதிக வாய்ப்பு என்று அலை சொல்கிறது.
ஆனால், நாம் மைனஸ் இன்பினிடி முதல் ப்ளஸ் இன்பினிடி வரை தேடினால், மொத்தத்தில் இந்த துகள் இருக்க வாய்ப்பு நூத்துக்கு நூறு என்று இருக்க வேண்டும் அல்லவா? ஏனென்றால் துகள் இருக்கிறது என்று நமக்கு தெரிந்தால் போதும், அது எங்கே இருக்கிறது என்பது துல்லியமாக தெரியாவிட்டாலும், அண்டம் முழுதும் தேடினால் எங்காவது இருந்துதான் தீரவேண்டும். இதை கணிதத்தில் ‘இண்டெகிரேஷன்' என்ற முறையில் கணக்கிடலாம். முதலில் அலையின் வளத்தை இருமடியாக்க வேண்டும். அது கீழே கொடுக்கப் பட்டிருக்கிறது.
அடுத்து, இந்த அலையை ‘இண்டெகிரேட்' செய்தால், (-infinity முதல் +infinity வரை இண்டெகிரேட் செய்தால்) விடை ஒன்று என்று வரவேண்டும். வந்தால்தான் அலை சரியானது. இங்கு இண்டெகிரேஷன் என்பதை, இந்த வடிவத்திற்கு கீழே இருக்கும் பரப்பளவு (area under the curve) என்றும் சொல்லலாம். இந்த பரப்பளவு 1 என்று வரும்.
- இதையே மூன்று பரிமாணங்களிலும் செய்யலாம். அதற்கு 'triple integral' என்று பெயர். இப்போது நம் உதாரணத்திற்கு அது தேவை இல்லை. ஆனால், நம் உதாரணத்தையே நிச்சயமாக 3Dல் extend செய்ய முடியும்.
இந்த துகள், ரெபரன்சிலிருந்து 6 நேமீ முதல் 7 நே.மீ. வரை இருக்க எவ்வளவு வாய்ப்பு? இதை கண்டு பிடிக்க சரியாக 6 நேமீல் ஒரு செங்குத்தான கோடு வரைய வேண்டும். அது இந்த Curveஐ தொடும் வரை வரைய வேண்டும்.
அடுத்து 7 நே மீல் ஒரு செங்குத்தான் கோடு வரைய வேண்டும். இதுவும் இந்த curve (வளைகோடு?) தொடும் வரை வரைய வேண்டும். இந்த இரண்டு கோடுகளுக்கும் இடையே, கோட்டுக்கு கீழே இருக்கும் பரப்பளவுதான், “எவ்வளவு வாய்ப்பு” என்ற கேள்விக்கு பதில். இங்கே பச்சை நிறத்தில் அது கொடுக்கப் பட்டு இருக்கிறது. சுமார் 0.1 (அதாவது 10%) என்று பதில் வரலாம்.
இங்கே ஒன்றை கவனியுங்கள். இந்த துகள் சரியாக ரெபரன்சிலிருந்து 8 நே.மீ.இல் இருக்க எவ்வளவு வாய்ப்பு என்று கேட்டால் என்ன பதில் வரும்?
8 நேமீல் ஒரு கோடு வரைய வேண்டும். இரண்டாவது கோடும் 8 நேமீல் வரைய வேண்டும். இரண்டுக்கும் இடையே இருக்கும் பரப்பளவு? பூஜ்யம்தான்! இதை இன்னொரு வகையில், கணிதத்தில் சொன்னால், ஒரு இண்டெகிரேஷனில், மேல் லிமிட்டும், கீழ் லிமிட்டும் ஒன்றாக இருந்தால், விடை பூஜ்யம்தான்.
அதனால், இந்த துகள் 8 நேமீல் இருக்க வாய்ப்பு பூஜ்யம்தான். இது 8 நேமீக்கும் , 8.1 நேமீ.க்கும் இடையே இருக்க எவ்வளவு வாய்ப்பு என்று கேட்டால்தான் வேறு பதில் வரும். சரியாக ஒரு இடத்தில் இருக்க எப்போதுமே பூஜ்யம்தான் வாய்ப்பு.
ஆனால், பொதுவாழ்வில், ஒரு துகள் ஒரு இடத்தில் இருக்க எவ்வள்வு வாய்ப்பு என்ற கேள்விக்கு, “அது ஓரிரு மைக்ரான் அல்லது மி.மீ. தள்ளி இருந்தால் பரவாயில்லை” என்ற எண்ணத்துடன் கேட்பதால், பதில் நிச்சயமாக ஒன்று அல்லது பூஜ்யம் என்று வரும். (அதாவது பொருள் "அங்கே இருக்கிறது" என்றோ அல்லது "இல்லை" என்றொ பதில் வரும். வாய்ப்பு என்ற சொல்லையே நாம் பயன்படுத்துவதில்லை)
ஒரு பொருள் ‘நிச்சயமாக இந்த இடத்தில்தான் இருக்கிறது' என்று சொல்ல வேண்டும் என்றால், அந்த பொருளுக்கான அலை, அந்த இடத்தில் மட்டும் ‘அலை வளம் =முடிவிலி' என்றும், மற்ற எல்லா இடங்களிலும் ‘அலை வளம் = 0' என்றும் இருக்க வேண்டும். அப்போதுதான் அதன் கீழ் இருக்கும் பரப்பளவு ஒன்று என்று வர முடியும். இதை கணிதத்தில் 'delta function' (டெல்டா ஃபங்க்ஷன்) என்று சொல்வார்கள்.
சரி, பொதுவாக ஒரு அலையின் அலை நீளத்தை கண்டு பிடிப்பது எப்படி? அலை நீளத்திற்கும், அதிர்வெண்ணுக்கும் தொடர்பு உண்டு. அதனால், அதிர்வெண் கண்டு பிடித்தால் போதும், அலை நீளம் கண்டுபிடித்த மாதிரிதான்.
இப்போது, இதற்கு முந்திய பதிவில் படித்ததை நினைவில் கொண்டு வருவோம். தூய சைன் வேவிற்கு மட்டும்தான், அதிர்வெண் ஒரே ஒரு புள்ளியில் இருக்கும் என்பதை பார்த்தோம். கலப்பு அலைக்கு இரண்டு புள்ளிகள் (அல்லது இன்னும் அதிக புள்ளிகள்) இருக்கும்.
ஒரு துகள் சிறிய இடத்தில் (ஒரு நே.மீ.க்குள்) இருக்கும் என்று சொன்னால், அந்தப் பொருளை குறிக்கும் அலை முதல் படத்தில் இருப்பது போல இருக்கும். இது நிச்சயமாக தூய சைன் அலை அல்ல!
இந்த காரணத்தால், ”இந்த அலையின் அதிர்வெண் என்ன?” என்று கேட்டால், ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை சொல்ல முடியாது. இது பல தூய அலைகள் கலந்த கலப்பு அலை என்று சொல்ல வேண்டும். அதனால், அதன் அதிர்வெண்கள் எல்லாவற்றையும் சொல்லவேண்டும்.
பல அதிர்வெண்கள் என்று சொன்னால், பல அலைநீளங்கள் என்று சொல்ல வேண்டும். இப்போது, குவாண்டம் இயற்பியல் படி, அலை நீளம் என்பது பொருளின் உந்தத்தை குறிக்கும் என்பதை ஞாபகப் படுத்திக்கொள்வோம். இந்த சமயத்தில், அந்த பொருளின் உந்தத்தை ‘துல்லியமாக' சொல்ல முடியாது! ஒரே ஒரு குறிப்பிட்ட அலை நீளம் சொன்னால்தான், பொருளின் உந்தம் இவ்வளவு என்று துல்லியமாக சொல்ல முடியும். இப்போது, பொருளின் இடத்தை ஓரளவு துல்லியமாக சொல்லிவிட்டோம், ஆனால் உந்தத்தை ‘சுமார் 10லிருந்து 15 கிலோ கிராம்-மீட்டர் / செகண்ட் க்குள் இருக்கும்' என்று தோராயமாகத்தான் சொல்ல முடியும்.
தூய சைன் வேவ் என்பது ஆதிமுதல் அந்தம் வரை (இடத்திலும் காலத்திலும்) செல்லும். இதற்கு மட்டும்தான் ஒரு குறிப்பிட்ட அலைஎண் இருக்கும். இதை விட்டு, முதல் படத்தில் இருப்பது போல, ஒரு குறிப்பிட்ட சிறிய இடத்திற்குள் ‘அமுக்கப் பட்டிருக்கும்' சிறிய அலை (wavelet)க்கு, பல அலைஎண்கள் இருக்கும்.
சரி, இதற்கு மாற்ர்க, ஒரு துகளை நாம் தூய சைன்வேவ் என்று சொன்னால் என்ன ஆகும்?
ஒரு அலை, தூய சைன் வேவ் அலை போல இருந்தால், அதன் அதிர்வெண் துல்லியமாக இருக்கும்., அது சரிதான். அதிர்வெண் துல்லியமானால் அலை நீளமும் துல்லியமாகும். அப்படிப் பட்ட சைன் வேவில், அலை வளம் எப்படி இருக்கும்? அது மேலேயும் கீழேயும் போய்க்கொண்டு இருக்கும். அப்படி என்றால்? ”அந்தப் பொருள் எந்த இடத்தில் இருக்கிறது ? “என்ற கேள்விக்கு, ”அது பல இடங்களில் சமமான அளவு maximum இருப்பதால், அது அந்த இடங்களில் எல்லாம் இருக்க சம வாய்ப்பு உண்டு. இது மைனஸ் இன்ஃபினிடி முதல் ப்ளஸ் இன்ஃபினிடி வரை எங்கு வேண்டுமானாலும் இருக்கும்” என்றுதான் சொல்ல முடியும்!
அதனால், அதிர்வெண்ணை (அலை நீளத்தை ) துல்லிய்மாக சொன்னால், உந்தத்தை துல்லியமாக சொல்லி விடலாம். அப்போது ‘இடத்தை துல்லியமாக சொல்வதில்' கோட்டை விட்டு விடுவோம். இடத்தை துல்லிய்மாக சொன்னால் (சிறு அலையாக வைத்து , வளத்தை எல்லா இடத்திலும் பூஜ்யமாக்கி, சிறு இடத்தில் மட்டும் 1 என்று செய்தால்) உந்தத்தில் (அதிர்வெண்ணில், அலை நீளத்தில்) கோட்டை விட்டு விடுவோம்.
தூய அலை பல இடங்களில் அதிக வளம் கொண்டு இருக்கும், சிறு அலை (wavelet) பல அலைகளின் கலப்பால்தான் வரும்.இது அலையின் பண்பு. இதை ஒன்றும் செய்ய முடியாது. இயற்கையில் அலையின் வளமானது இடத்தையும், அலைநீளமானது உந்தத்தையும் குறிப்பதால், நம்மால் இரண்டையும் துல்லிய்மாக சொல்ல முடியாது. ‘நம்மால் சொல்ல முடியாது' என்பதை விட, ‘இயற்கையில் கிடையாது' என்று சொல்வதுதான் சரி.
No comments:
Post a Comment